درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف
درس 3: نمودار تابع خطی
سؤال: نمودار زیر تعداد صندلیهایی را که در پایان هر سه ساعت کار در یک کارگاه تولید میشوند، نشان میدهد. آیا میتوانید تعداد صندلیهای تولید شده در این کارگاه را در پایان پانزدهمین ساعت کاری پیشبینی کنید؟
- آیا تعداد صندلیهای تولید شده در پایان هشتمین ساعت کاری بیشتر از پنج عدد است؟
- آیا میتوانید تعداد صندلیهای تولید شده در این کارگاه در پایان هر ساعت خاص را پیشبینی کنید؟
فعالیت (صفحهٔ 56 کتاب درسی)
الف) طول یک فنر در حالتیکه به آن هیچ وزنهای آویزان نشده است 5 سانتیمتر است و بهازای هر کیلوگرم وزنهای که به آن آویزان شود، نیم سانتیمتر به طول آن افزوده میشود.
طول فنر را در شکلهای زیر مشخص کنید.
ب) جدول زیر را تکمیل نمایید.
| a | 20 | 7 | 5 | 2 | 1 | اندازه وزنه برحسب (کیلوگرم) |
| طول فنر برحسب (سانتیمتر) |
پ) اگر تابع طول فنر را با $f$ نشان دهیم، مقادیر $f\left( 1 \right)$ و $f\left( 4 \right)$ و $f\left( 8 \right)$ و $f\left( 10 \right)$ (بر حسب سانتیمتر) را محاسبه کنید.
ت) نقاط بهدست آمده از قسمت قبل را در یک دستگاه دو محور عمود بر هم، مشخص کنید. نقاط حاصل را به هم وصل کنید.
فعالیت (صفحهٔ 58 کتاب درسی)
یک کارخانهٔ تولید لولههای آبیاری کشاورزی در هر ساعت 0/3 کیلومتر لوله تولید میکند.
اگر متراژ لولهای را که این کارخانه پس از x ساعت تولید میکند، برحسب متر با $f\left( x \right)$ نشان دهیم. جدول زیر را برای $f\left( x \right)$ بهازای مقادیر مختلف $x$ کامل نمایید.
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | $x$ برحسب ساعت |
| $f\left( x \right)$ برحسب متر |
نقاط بهدست آمده از جدول قسمت قبل را در یک دستگاه دو محور عمود بر هم مشخص کنید. نقاط حاصل را به هم وصل کنید.
توابع بهدست آمده در دو فعالیت قبل، هر دو توابع خطّیاند.
رسم نمودار تابع درجه یک
برای رسم نمودار تابع $y=mx+h$ دو نقطه از نمودار تابع را در دستگاه مختصات مشخص میکنیم و سپس آن دو نقطه را بهوسیله خطی به هم وصل میکنیم.
کار در کلاس (صفحهٔ 59 کتاب درسی)
در یک تابع خطی $f\left( 0 \right)=2$ و $f\left( 2 \right)=3$ با توجّه به معادلهٔ خط که در کتاب ریاضیات نهم دیدهاید، ابتدا m و سپس بهکمک آن $f\left( x \right)$ را مشخص و نمودار تابع را رسم کنید.
$m=\frac{3-......}{......-0}=......$
معادله خط:
بنابراین $f\left( x \right)=..........$
کار در کلاس (صفحهٔ 59 کتاب درسی)
جدول زیر رابطهٔ بین عمق و دمای سنگها را در زیر زمین نشان میدهد. x معرف عمق (برحسب کیلومتر) و y معرف دما (بر حسب سانتیگراد) است.
اگر دمای سنگها تابع خطی برحسب عمق باشد، ابتدا جدول زیر را کامل کنید و بهکمک آن تابع را مشخص نموده سپس تعیین کنید در چه عمقی دما به 440 درجه سانتیگراد میرسد؟
| $f\left( 2 \right)$ | $f\left( 1 \right)$ | $:f\left( x \right)=mx+h$ معادلهٔ خط یا ضابطهٔ تابع | $:m=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{2}}}$ شیب خط |
کار در کلاس (صفحهٔ 60 کتاب درسی)
در برنامهریزی اقتصادی، اجتماعی و مواردی از این قبیل، اولین گام، پیشبینی جمعیت در برنامهریزی است. برای برآورد جمعیت، مدلهای مختلفی وجود دارد که هرکدام ویژگیهای خود را دارند. انتخاب نوع مدل و استفاده از آن در درجهٔ اول به اطلاعات موجود در زمان و سپس به هدف برنامهریزی بستگی دارد. یکی از این روشها، مدل رشد خطی است. این مدل، الگویی از رشد جمعیت را توصیه میکند که در آن میزان جمعیت همچنان با نرخ فعلی خود تغییر میکند. (روند رشد جمعیت بهصورت تابعی خطی نسبت به متغیّر زمان است.) فرض کنیم جمعیت یک شهر در سال 1385 برابر یک میلیون و پنجاه هزار نفر و در سال 1395 برابر یک میلیون و دویست و هشتاد هزار نفر بوده است. اگر برای رشد جمعیت این شهر، مدل الگویی رشد خطی را در نظر بگیریم، با رسم نمودار تابع جمعیت، جمعیت این شهر را در سال 1405 بهطور تقریبی برآورد کنید.
کار در کلاس (صفحهٔ 61 کتاب درسی)
ضابطهٔ تابع محیط مستطیلهایی را که طول آنها 4 واحد بیشتر از عرض آنها است، بر حسب عرض آن بنویسید و نشان دهید یک تابع خطی است.
- آیا تابع مساحت آنها نیز یک تابع خطی است؟
کار در کلاس (صفحهٔ 61 کتاب درسی)
اگر نمودار تابع خطی $f$ از مبدأ عبور کرده و $f\left( -1 \right)=2$ باشد، نمودار و ضابطهٔ تابع $f$ را مشخص کنید.
تمرین (صفحهٔ 61 تا 62 کتاب درسی)
1- مقادیر $m$ و $n$ را چنان بیابید تا در تابع با ضابطهٔ $f\left( x \right)=mx+n$ داشته باشیم: $f\left( 2 \right)=4$ و $f\left( 1 \right)=1$.
2- ضابطهٔ تابع خطی f را که از نقاط $\left( 2,3 \right)$ و $\left( 4,1 \right)$ میگذرد، مشخص کنید و نمودار آنرا رسم نمایید.
3- در تابع خطی f داریم $f\left( 1 \right)=5$ و $f\left( 2 \right)=8$، مقادیر $f\left( -3 \right)$ و $f\left( 5 \right)$ را بیابید.
4- نمودار تابعی خطی را رسم کنید که دامنهٔ آن برابر $A=\left\{ x\in \mathbb{R}|0\le x\le 10 \right\}$ و از نقطهٔ $M\left| \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right.$ بگذرد.
5- نمودار یک تابع خطی از مبدأ میگذرد و $f\left( 2 \right)=7$ است. در اینصورت اختلاف $f\left( 0/1 \right)$ و $f\left( -0/1 \right)$ را بهدست آورید.
6- رابطهٔ بین درجهٔ دما برحسب سانتیگراد و فارنهایت بهصورت $F=\frac{9}{5}C+32$ است. دمای یک جسم درجهٔ سانتیگراد بالا رفته است. دمای آن برحسب فارنهایت چقدر افزایش داشته است؟
7- یک شرکت برای تولید $x$ کالا، $C\left( x \right)=3000+50x$ تومان هزینه میکند و هر کالا را 70 تومان میفروشد.
الف) تابع سود را تعیین و نمودار آنرا رسم کنید.
ب) این شرکت حداقل چه تعداد از این کالا را باید بفروشد تا سوددهی آغاز شود؟
